谐振变换器-第4节
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本节为《浅谈谐振LLC谐振变换器》系列第4节，本系列围绕LLC谐振变换器展开，一个在现代电子设备中不可或缺的神秘组件。它利用巧妙的物理原理有效减少能量损失，保证了我们设备的高效运行。
本系列学习路线：LLC的定义及优势 - LLC入门 - LLC工作原理 - LLC特性分析
LLC谐振变换器特性分析
LLC谐振变换器FHA等效模型推导
用基波等效法推出它的等效电阻Req，用等效模型从而推出电压增益。
由等效图可知，
$电压增益=\frac{\text{R}eq}{\text{}整个电路的阻抗}$
Req就是整流网络加上变压去等效到原边的阻抗Req。
而由图可知，
$Req =\frac{\text{V}p}{\text{I}p}$
这里我们用到基波等效分析法求Vp和Ip。
先介绍一下傅里叶级数的基本概念。
傅里叶级数基本概念
周期为2π的函数f(x)傅里叶级数展开后的表达式为：
$f(x) = {{{a_0}} \over 2} + \sum\limits_{n = 1}^\infty {({a_n}\cos {nx} + {b_n}\sin {nx})}$
其中：
$\begin{aligned} &a_{n} =\frac{1}{\pi}\int_{-\pi}^{\pi}f\bigl(x\bigr)\cos nxdx \ &b_{n} =\frac{1}{\pi}\int_{-\pi}^{\pi}f\bigl(x\bigr)\sin nxdx \ &a_{0} =\frac1\pi\int_{-\pi}^{\pi}f(x)dx \end{aligned}$
1）Vd方波的傅里叶级数展开
半波Vd傅里叶级数展开后的表达式为：
$\nu_{d}\left(t\right)=\frac{V_{bus}}{2}+\frac{2V_{bus}}{\pi}\sum_{n=1,3,5,…}^{\infty}\frac{1}{n}\sin(n\omega_{s}t)$
基波分量表达式为：
$\nu_{d}\left(t\right)=\frac{2V_{bus}}{\pi}\sin(\omega_{s}t)$
2）变压器原边电压Vp傅里叶级数展开
Vp傅里叶级数展开的表达式为：
$\nu_{p}\left(t\right)=\frac{4NV_{o}}{\pi}\sum_{n=1,3,5,..}^{\infty}\frac{1}{n}\sin(n\omega_{s}t-\varphi)$
基波分量与方波电压是同相的，因此，取n=1可得其基波分量表达式为：
$\begin{aligned}V_{p1}\left(t\right)&=\frac{4NV_{o}}{\pi}\sin(\omega_{s}t-\varphi)=\sqrt{2}V_{p1rms}\sin(\omega_{s}t-\varphi)\&\quad V_{p1rms}=\frac{4NV_{o}}{\pi}/\sqrt{2}=\frac{2\sqrt{2}NV_{o}}{\pi}\end{aligned}$
3）变压器原边电压ip傅里叶级数展开
ip可以近似认为是一正弦基波分量，其表达式为:
$i_{p}\left(t\right)=\sqrt{2}I{_{prms}}\sin(\omega_st-\varphi)$
上式最关键的是计算Iprms：
$I_o=\frac1{2\pi}\int_0^{2\pi}i_o\left(t\right)dt=\frac1{2\pi}\int_0^{2\pi}N\left|i_p\left(t\right)\right|dt=\frac{2\sqrt{2}N}\pi I_{prms}$
$I_{prms}=\frac{I_{o}\pi}{2\sqrt{2}N}$
4）等效电阻Req
$R_{eq}=\frac{\nu_{_{p1}}}{i_p}=\frac{\frac{4NV_o}\pi\sin(\omega_st-\varphi)}{\frac{I_o\pi}{2N}\sin(\omega_st-\varphi)}=\frac{8N^2}{\pi^2}R_L$
LLC谐振变换器电压增益
根据上图可以得到LLC谐振变换器的交流电压增益为：
$H(j\omega)=\frac{V_{p1}(j\omega)}{V_{d1}(j\omega)}=\frac{R_{eq}\parallel j\omega L_m}{j\omega L_r+\frac1{j\omega C_r}+R_{eq}\parallel j\omega L_m}$
定义励磁电感与谐振电感之比为：
$\gamma=\frac{L_m}{L_r}$
品质因数Q：
$Q=\frac{Z_r}{R_{eq}}=\frac{\sqrt{\frac{L_r}{C_r}}}{R_{eq}}$
归一化频率：
$f_n=\frac{f_s}{f_r}$
可以得到LLC谐振变换器的电压增益函数为：
$M(f_n)=\frac1{\sqrt{\left[1+\frac1\gamma(1-\frac1{f_n}^2)\right]^2+\left[Q(f_n-\frac1{f_n})\right]^2}}$
LLC谐振变换器电压增益曲线分析 - Q值和γ值的选取
课程回顾
Q值对增益的影响
γ值对增益的影响
Q与γ的选取思路
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由输入电压变换引起的最大输出电压变换范围
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由空载到满载引起的输出电压变换
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确保整个工作区ZVS，从而降低损耗
$V_O=M\times\frac1N\times\frac{V\mathrm{in}}2$
参考/感谢
[1]ST. Simplified Analysis and Design of Series resonant LLC Half-bridge Converters.
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